George Cantor, señor del infinito

Compartir

Me imagino querido lector que tú, como yo de pequeño le hiciste esta pregunta a tu mamá: Mamá, ¿cuál es el número mas grande?

Y mi madre hermosa, en su infinita sabiduría, decía que no podía haber un número más grande que todos, porque en cuanto lo hubiera alguien más podría hacer otro mayor simplemente sumándole un uno.

Los matemáticos, esos niños curiosos e irreverentes, se dieron cuenta desde la época de los griegos, allá por el año 200 antes de cristo,  de que los números son muchos. Pero ¿cuánto es muchos?

Esos niños curiosos tienen distintas herramientas para encontrar respuestas: para decir que hay infinitos números naturales simplemente usas, a reserva de formalizarlo,  la idea de que si tienes un número N, el número N+1 es más grande y es el que sigue en la lista de números.Por lo tanto, si para una colección de números puedes seguir y seguir agregando números sin detenerte puedes decir que su cantidad es infinita. Los números naturales, los que usamos para contar, son infinitos.

George Cantor (845, 1918), fue un matemático alemán que se obsesionó con el infinito y dio algunas reglas, que son contrarias al sentido común, pero que le ayudaron a verificar algunas cosas que ya se sabían y encontrar otras inauditas.

Por ejemplo, Euclides demostró que los números primos son infinitos. Esta demostración la puedes encontrar en el libro de Hardy, Apología de un matemático (pag. 62). 

Te recuerdo que los números primos son esos que se pueden divir entre si mismos y el uno solamente. Así que el dos es primo, pero 6 no porque se puede dividir entre 1, 2, 3 y 6. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13, 17, 23.

Pues bien, Cantor definió que un conjunto es infinito si contiene a un conjunto de su mismo tamaño. La idea de que  dos conjuntos son de un mismo tamaño es simple. si en una fiesta llegan algunas personas y todas están sentadas y no sobran sillas entonces el conjunto de sillas y personas es del mismo tamaño. De echo contar es encontrar el conjunto de números naturales asociados al conjunto por contar. Por ejemplo, dices una, dos , tres, cuatro sillas. Has asociado a las sillas el conjunto de números que tiene cuatro elementos y le asocias el cuatro.

De ese modo Cantor,  pudo contar a los números enteros, aquellos que tienen a los positivos a los negativos y al cero, y descubrió que tenían el mismo tamaño que los números naturales. Eran el  mismo infinito.

Así mismo, los números racionales, que por cierto contiene al conjunto de los números los enteros, también tiene el mismo tamaño que los naturales. A este tamaño le asignó el primer número transfinito al que llamó Alef cero.

En este vídeo nos lo cuentan de manera más elegante:

“Yo veo esto, pero no lo creo” dijo Cantor al descubrir que un segmento y un cuadrado tienen igual cantidad de puntos. Pero a su vez estos puntos son más que el infinito de los números naturales. A este infinito le llamo el cardinal del continuo.

Descubrió también que infinito más infinito da infinito. Que infinito por infinito da infinito. Pero que infinito a la infinito ya es otra cosa, otro infinito mas grande. Decidir si esa cosa era el cardinal del continuo el llevó mucho tiempo y muchos dolores de cabeza.

Sin embargo este problema definió unas nuevas matemáticas que y a esa decisión se le llama hipótesis del continuo.

Debido a la inestabilidad laboral, Cantor tenía frecuentemente a sufrir depresión y era internado en hospitales par su tratamiento.

Sus enemigos decían que era debido a su blasfemia de atreverse a crear nuevos números más allá de los que dios había creado.

Sus descubrimientos le han valido honores póstumos, como su nombre en un cráter lunar o en un asteroide. Lo puedes encontrar también en la novela En busca de Klingsor de Jorge Volpi, donde lo retrata como un ser tímido y atormentado.

Si quieres saber más de Cantor puedes leer Los grandes matemáticos, de E. T. Bell, un clásico de la historia de las matemáticas.

Cantor es uno de mis héroes matemáticos: en la escuela me hice experto en el Conjunto de Cantor del cual les puedo hablar en otra ocasión.  O mejor aún, puedes ver este video para enterarte de una vez:

Por lo mientras planteamos que los descubrimientos de Cantor nos permiten decir, sin faltar a la corrección matemática:

¡Al infinito y más allá!

Divulgador científico. Matemático de formación, apasionado de la ciencia y la tecnología, sobre todo de los robots.

Be first to comment