Dibújame un hipercubo

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El hipercubo es uno de los conceptos mas fascinantes de la matemática, usado en las artes y en el cine. ¿No lo crees? Sigue leyendo y te lo cuento.

Platicar acerca del Hipercubo me vino a la mente al ver la película “El cubo” (Vitali, 1997), que por cierto quedó pendiente de recomendar en la lista de películas matemáticas de otra entrada.

Una buena película que tiene elementos matemáticos como base de su argumento y la trama va desde el suspenso, al terror, pasando por la acción y el peligro de ser destruido por alguna de las trampas. Pero la puedes disfrutar más si entiendes lo que conlleva construir este cubo.

Comencemos por partes. El cubo común y corriente es un poliedro convexo con caras que son cuadrados. Aquí no faltará alguien que diga como en los Simpsons, “oye, oye, ¡despacio cerebrito!”, como en el episodio de Homero al cubo:

Desde la primaria sabemos lo que es un cuadrado: una figura plana, con cuatro lados iguales con ángulos rectos. Lo de figura plana nos indica que trabajamos en el plano, y hacemos corresponder al plano la dimensión 2.

Esto es porque necesitamos dos coordenadas para ubicar un punto en el plano: (x,y).

Si jugamos con la idea de dimensión podemos preguntarnos ¿cuál es el equivalente de un cuadrado en las tres dimensiones? La respuesta es sencilla: un cubo. Solo que ahora el cubo será un cuerpo geométrico cuyas caras con iguales (cuadrados). Lo de cuerpo ha servido siempre para indicar que es un objeto en tres dimensiones. 3D dicen ahora. Este objeto está en el espacio tridimensional, cuyas coordenadas ahora son (x,y,z).

Ahora juguemos en el otro sentido. ¿Qué es un cuadrado en una dimensión? Bueno, cualquier segmento. Aunque no tiene cara de cuadrado, por ejemplo, el segmento que va de 1 a 3, y que se simboliza [1,3].

Si vas con el círculo resulta que su homólogo en tres dimensiones es la esfera (algunos le llaman bola) y en una dimensión ¡también es un segmento! Recordemos que un círculo se define por su centro y su radio. En muchas ocasiones has oído frases como “no hay agua en diez kilómetros a la redonda”, lo que significa que a partir del punto donde estás parado trazas un círculo de radio diez kilómetros y dentro de él no hallarás agua.

Ahora vayamos a la dimensión 4.  Pero cuidado, estamos hablando de geometría. Aquí podemos hablar de las dimensiones que queramos.

En la dimensión 4 los cubos se llaman hipercubos. Estar en un espacio de 4 dimensiones implica tener cuatro coordenadas (x,y,z,w), por decir algo. ¿Y las esferas? Bueno, se llaman hiperesferas o hiperbolas, así, sin acento.

¿Cómo se ve un Hipercubo? Bueno, nadie lo sabe. Como dice el profesor Brinco, estamos hablando de un objeto hipotético, somos seres de 3 dimensiones tratando de ver un objeto de cuatro dimensiones. Edwin Abbot, en 1884, escribió al respecto pero con una narración. Planilandia, una novela en muchas dimensiones, explicaba lo que podría ocurrir si entes de dos dimensiones (como se asumen los personajes de los Simpsons en el video de arriba) se topan con la tercera dimensión. Recuerdo que una esfera que cruzara por ese espacio plano podría parecer un punto al principio, creciendo como círculo hasta un radio máximo, y después decrecer hasta otro punto que desaparece finalmente. También menciona que un ser tridimensional puede visualizar completamente a uno bidimensional, y que si lo tomara lo llevara al espacio tridimensional y lo volviera a colocar en el bidimensional los demás podrían verlo desaparecer y volver a aparecer sin poderlo explicar.

Aquí una película basada en dicho texto:

Nosotros tenemos herramientas para representar las tres dimensiones en dos. Una de ellas es el dibujo. Cualquiera sabe como dibujar un dado, finalmente una representación en 2D de un cubo.

¿Podemos representar un Hipercubo de manera parecida? Si, con un teseracto, pero no, no como el de Los Vengadores de Marvel, sino como el que se ve en azul en este video

¿Y qué se ve en la segunda parte del video?

En la primaria nos dejaban de tarea hacer los cuerpos geométricos en cartulina. Para el cubo debías hacer primero su desarrollo plano, lo cual significa dibujar sus seis caras de modo que al doblarlas se generara el cubo. Si quieres hacer un Hipercubo su desarrollo es tridimensional, y son 8 cubos que al doblarse en la cuarta dimensión nos generan el Hipercubo, los cuales vemos en blanco en el video.

Una muy sencilla explicación de todo esto la podemos ver en este video

Este desarrollo del teseracto ha sido bellamente utilizado por uno de los mas grandes genios de la pintura, Salvador Dalí, en su cuadro Corpus Hypercubus o Crucifixión realizado en 1954.

Hay una magnífica reseña sobre este cuadro en el blog Papel de Periódico, donde se lee esta cita de Dalí:

Pinté una cruz hipercúbica en la que el cuerpo de Cristo se convierte metafísicamente en el noveno cubo, siguiendo los preceptos del discurso sobre la forma cúbica de Juan Herrera, constructor de El Escorial, inspirado en Ramón Llull

Pero su inspiración geométrica viene de Thomas Francis Banchoff como nos cuentan en este video:

Los pensadores y literatos no me aportan absolutamente nada. Los científicos, todo, incluso la inmortalidad del alma.

-Salvador Dalí

Mira una representación de un teseracto, en luz y sonido, del artista Kit Wester:

Recordemos que estamos hablando de geometría. Ahí podemos incluso poner muchas mas dimensiones. Los cubos de mas dimensiones tienen nombre propio: penteracto, hexeracto, hepteracto, octorato, eneracto, y decaracto son los nombres para los cubos en dimensiones cinco a diez.

Actualmente la física agrega el tiempo como a las tres dimensiones espaciales para hablar de un solo objeto que denomina espacio-tiempo.  Las ecuaciones que resultan de entender el espacio-tiempo de manera geométrica han servido para describir fenómenos como la gravedad y los agujeros negros.

Sin embargo, existe una pseudociencia llamada Geometría Sagrada que confunde la geometría y algunos preceptos de la filosofía pitagórica y otras creencias antiguas para hacer creer que el cosmos está regido por reglas arcanas.

Es como creer (spoiler) que el la película del cubo existen infinitas habitaciones, cuando en realidad solo son combinaciones espaciales de las habitaciones, en una maquinaria que me recuerda un poco a otro cubo famoso, el cubo de Rubick, del cual hablaremos en otra ocasión.

Te recomiendo que veas El cubo, y si quieres ver la precuela, el Cubo Cero y la secuela Hipercubo, te podrás entretener mucho. Aunque lo mejor de la secuela es precisamente la secuencia donde aparece un Hipercubo.

 

 

Divulgador científico. Matemático de formación, apasionado de la ciencia y la tecnología, sobre todo de los robots.

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